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          葉戈羅夫定理

          2018-05-02 15:45:03

          在測度論中,葉戈羅夫定理確立了一個可測函數的逐點收斂序列一致連續的條件。這個定理以俄國物理學家和幾何學家德米特里·葉戈羅夫命名,他在1911年出版了該定理。

          葉戈羅夫定理與緊支撐連續函數在一起,可以用來證明可積函數的盧津定理。

          目錄

          • 1 定理的陳述
          • 2 假設的討論
          • 3 證明
          • 4 參考文獻

          定理的陳述

          設(M,d)為一個可分度量空間(例如實數,度量為通常的距離d(a,b) = |a − b|)。給定某個測度空間(X,Σ,μ)上的M-值可測函數的序列(fn),以及一個有限μ-測度的可測子集A,使得(fn)在A上μ-幾乎處處收斂于極限函數f,那么以下結果成立:對于每一個ε > 0,都存在A的一個可測子集B,使得μ(B) < ε,且(fn)在相對補集A  B上一致收斂于f。

          在這里,μ(B)表示B的μ-測度。該定理說明,在A上幾乎處處逐點收斂,意味著除了在任意小測度的某個子集B上外一致收斂。這種收斂又稱為幾乎一致收斂。

          假設的討論

          注意μ(A) < ∞的假設是必要的。在勒貝格測度下,考慮定義在實直線上的實值指示函數的序列:

          這個序列處處逐點收斂于零函數,但對于任何有限測度的集合B,它在R  B上不一致收斂。

          度量空間的可分性是需要的,以保證對于M-值可測函數fg,距離d(f(x), g(x))也是x的可測實值函數。

          證明

          對于實數nk,定義集合En,k為以下并集:

          n增加時這些集合逐漸變小,意味著En+1,k總是En,k的子集,因為第一個并集包含了較少的集合。一個點x,使得序列(fm(x))收斂于f(x),不能位于每一個En,k中(對于固定的k),因為fm(x)最終必須離f(x)比離1/k更近。因此根據在A上μ-幾乎處處逐點收斂的假設,有:

          對于每一個k。由于A的測度是有限的,我們便可從上面推出連續性;因此對于每一個k,都存在某個自然數nk,使得:

          對于這個集合中的x,我們認為逼近f(x)的1/k-鄰域的速度太慢。定義

          A中所有點x的集合,使得逼近f(x)的至少一個1/k-鄰域的速度太慢。因此,在集合差A  B上,我們便得出一致收斂。

          根據μ的σ可加性,并利用幾何級數,我們便得到:

          參考文獻

          1. Richard Beals (2004). Analysis: An Introduction. New York: Cambridge University Press. ISBN 0-521-60047-2.
          2. Dmitri Egoroff (1911). Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, 152:135–157.
          3. Eric W. Weisstein et al. (2005). Egorov's Theorem. 于2005年4月19日訪問。

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