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          皮亞諾存在性定理

          2018-05-02 15:44:57

          在數學中, 特別是在常微分方程的研究中,皮亞諾存在定理(又稱為皮亞諾定理、柯西-皮亞諾定理)是以數學家朱塞佩·皮亞諾的名字命名的一個定理。這個定理是常微分方程研究中的基本定理之一,保證了微分方程在一定的初始條件下的解的存在性。

          目錄

          • 1 歷史
          • 2 定理
          • 3 相關定理
            • 3.1 例子
          • 4 參考來源

          歷史

          這個定理最早由數學家朱塞佩·皮亞諾在1886年發表,但是他給出的證明是錯誤的。1890年他又發表了一個正確的運用逐次逼近法的證明。

          定理

          DR × R 的一個開子集,以及一個連續函數:

          皮亞諾存在定理:定義在 D 上的一個一階線性常微分方程(其中

          必然有局部解。也就是說,必定存在一個關于 的鄰域 I,以及一個函數:

          滿足。

          相關定理

          皮亞諾存在定理可以和另外一個存在性定理:皮卡-林德洛夫定理作比較。相比起皮亞諾存在定理,皮卡-林德洛夫定理對函數 的要求更嚴格,但結論也更強。皮卡-林德洛夫定理要求函數 局部地滿足利普希茨條件,也就是說在任意一點 x 的附近,都有一個常數 和一個鄰域 ,使得對于中任意的、兩點,都有:

          。

          這個要求比單純的連續性要高,但是得出的結論也更強了:皮卡-林德洛夫定理說明,在滿足上述要求時,微分方程的局部解不僅存在而且是唯一的。

          例子

          為一個常數,考慮函數

          ,其定義域設為 。

          根據皮亞諾存在定理,由于函數上連續,微分方程有解。但由于 在0處的導數為正無窮,上不滿足利普希茨條件,于是解不一定是唯一的。事實上:對于任意的,定義為:當,當 的函數 都是微分方程的解,也就是說解有無窮多個。這個反例來源于一個物理模型:假設有一個漏水的容器,其水面高度(函數)和時間的關系由以上的微分方程定義的話,那么由于事實上可以觀測到漏水的過程,所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水后的某個時刻的狀態()的話,是無法倒過來推測原來的水位有多高的(也就是說沒有唯一解)。

          參考來源

          • G. Peano, Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine, Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
          • G. Peano, Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires, Mathematische Annalen, 37 (1890) 182–228.
          • W. F. Osgood, Beweis der Existenz einer L?sung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung, Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
          • E.A. Coddington and N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, 1955.

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