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          普羅斯定理

          2018-05-02 15:44:53

          普羅斯定理是數論的一個定理,可以判斷普羅斯數是否是質數。

          如果p是普羅斯數,也就是滿足k2n + 1形式的數,其中k為奇數,且k < 2n,那么如果對于某個整數a,有

          p是素數。此時p稱為普羅斯質數。這是一個有實際用途的方法,因為如果p是素數,任何選定的a都有百分之50的機會滿足這個關系式。

          a是是模p的二次非剩余,則上述定理的逆定理也成立,因此有一種可以找a的方式,就是在最小的質數中依序找a,計算雅可比符號,直到下式成立為止

          蒙地卡羅算法英語蒙地卡羅的素性測試是亂數算法,可能會產生偽陽性的結果(不是素數的數卻通過素性測試),根據普羅斯定理的算法是拉斯維加斯算法,其答案都是對的,但要找到答案的時間則是隨機變化。

          目錄

          • 1 舉例
          • 2 歷史
          • 3 相關條目
          • 4 參考資料
          • 5 外部鏈接

          舉例

          例如:

          • 對于p = 3,21 + 1 = 3能被3整除,所以3是素數。
          • 對于p = 5,32 + 1 = 10能被5整除,所以5是素數。
          • 對于p = 13,56 + 1 = 15626 能被整除,所以13是素數。
          • 對于p = 9,不存在a使得a4 + 1能被9整數,所以9不是素數。

          頭幾個普羅斯質數是(OEIS中的數列A080076):

          3, 5, 13, 17, 41, 97, 113, 193, 241, 257, 353, 449, 577, 641, 673, 769, 929, 1153 ….

          截至2009年 (2009-Missing required parameter 1=month!),已知最大的普羅斯質數是19249 · 213018586 + 1,是由十七或者破產所找到的,有3,918,990個數字,是已知不是梅森素數的素數中,數值最大的質數1。

          歷史

          法蘭西斯·普羅斯英語Fran?ois Proth(1852–1879)在1878年發表了這個證明。

          相關條目

          • 貝潘測試英語Pépin's test:普羅斯定理質數測試中,k = 1,a = 3的特例
          • 謝爾賓斯基數

          參考資料

          1. ^ http://primes.utm.edu/top20/page.php?id=3 Largest Known Primes

          外部鏈接

          • MathWorld上Proth's Theorem的資料,作者:埃里克·韋斯坦因。

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