<form id="r8pbt"></form>
        1. 百度的財報穩了:但新業務的業績在哪? 替補高效30分步行者過關掘金加時1分險勝公牛 兒童醫院公開賽:斯皮思集中解決推桿和一號木問題 “叫板”美元,日本和印度簽署最大規模貨幣互換協定 薩拉赫手纏繃帶傷勢未愈!英媒:恐缺戰阿森納 羅斯夢回巔峰的原因!東方神秘力量是神助攻嗎 伊藤忠商事對中信集團的投資將出現巨額虧損

          介值定理

          2018-05-02 15:43:35

          在數學分析中,介值定理(intermediate value theorem)(又稱中間值定理)描述了連續函數在兩點之間的連續性:

          如果連續函數通過兩點,它也必定通過區間內的任一點。

          直觀地比喻,這代表在區間上可以畫出一個連續曲線,而不讓筆離開紙面。如果這個連續函數是光滑曲線,其任二點間的光滑性可由均值定理來描述。

          介值定理首先由伯納德·波爾查諾在1817年提出和證明,在這個證明中,他附帶證明了波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理。

          介值定理圖解

          目錄

          • 1 定理
          • 2 證明
          • 3 與實數完備性的關系
          • 4 零點定理(波爾查諾定理)
          • 5 現實世界中的意義
          • 6 參考
          • 7 外部鏈接
          • 8 參見

          定理

          假設是一個實數里的閉區間,而是連續函數,那么其像集也是區間。它或者包含(如果),或者包含(如果)。換言之:

          • ,

          • .

          介值定理通常以下述等價的形式表述:假設是連續函數,且實數滿足,則存在使得。

          證明

          先證明第一種情況;第二種情況也類似。

          內所有的集合,使得。那么是非空的,因為的一個元素,且是上有界的,其上界為。于是,根據實數的完備性,最小上界 一定存在。我們來證明。

          • 假設。那么,因此存在,使得當時,就有,因為是連續函數。但是,這樣一來,當時,就有(也就是說,對于內的,都有)。因此的一個上界,與我們假設是最小上界以及矛盾。
          • 假設。根據連續性,存在一個,使得當時,就有。那么對于內的,都有,因此存在大于,使得,這與的定義矛盾。

          因此。

          與實數完備性的關系

          此定理仰賴于實數完備性,它對有理數不成立。例如函數滿足,但不存在滿足的有理數。

          零點定理(波爾查諾定理)

          零點定理是介值定理的一種特殊情況-如果曲線上兩點的值正負號相反,其間必定存在一個根:

          設函數在閉區間上連續,且,則必存在使成立。由于零點定理可用來找一方程式的根,也稱為勘根定理。伯納德·波爾查諾于1817年證明了這個定理,同時證明了這個定理的一般情況(即介值定理)。以現代的標準來說,他的證明并不算是非常嚴格。1

          現實世界中的意義

          介值定理意味著在地球的任何大圓上,溫度、壓強、海拔、二氧化碳的濃度(或其他任何連續變化的變量),總存在兩個對跖點,在這兩個點上該變量的值是相同的。

          證明:f為圓上的任何連續函數。通過圓的中心作一條直線,與圓相交于點A和點B。設df(A) ? f(B)的差。如果把這條直線旋轉180度,將得到值?d。根據介值定理,一定存在某個旋轉角,使得d = 0,在這個角度上便有f(A) = f(B)。

          這是一個更加一般的結果——博蘇克-烏拉姆定理的特殊情況。

          參考

          1. ^ Wolfram MathWorld: Bolzano's Theorem

          外部鏈接

          • cut-the-knot上的介值定理-波爾查諾定理

          參見

          • 中值定理
          • 極值定理

          博狗博彩