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          格爾豐德-施奈德定理

          2018-05-02 15:43:29

          格爾豐德-施奈德定理(Gelfond–Schneider theorem)是一個可以用于證明許多數的超越性的結果。這個定理由Aleksandr Gelfond在1934年、Theodor Schneider在1935年分別獨立證明,它回答了希爾伯特第七問題。

          目錄

          • 1 表述
          • 2 評論
          • 3 定理的應用
          • 4 參見
          • 5 參考文獻

          表述

          如果α和β是代數數,其中α≠0且≠1,且β不是有理數,那么任何的值一定是超越數。

          評論

          • 不限于實數;它們可以是復數。
          • 一般地,是多值的,其中“log”表示復數對數。
          • 該定理的一個等價的表述是:如果是非零的代數數,那么要么是有理數,要么是超越數。
          • 如果沒有是代數數的限制,這個定理就不一定成立。例如,如果,,那么,它是代數數。

          定理的應用

          利用這個定理,立刻就可以推出以下實數的超越性:

          • (格爾豐德-施奈德常數)和。
          • (格爾豐德常數),以及(這是因為的值之一)。

          參見

          • 林德曼-魏爾斯特拉斯定理
          • Schanuel猜想,如果證明了這個猜想,就可以同時推出格爾豐德-施奈德定理和林德曼-魏爾斯特拉斯定理。

          參考文獻

          • Irrational Numbers, by Ivan Niven; Mathematical Association of America; ISBN 0-88385-011-7, 1956
          • MathWorld上Gelfond-Schneider Theorem的資料,作者:埃里克·韋斯坦因。

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