雪花周长和地球直径哪个大?

作者:匿名 2019-11-01 17:15:01 阅读量:2370

雪花的周长和地球的直径哪个更长?这似乎是一个明显的问题。然而,它实际上包含了一个深刻的数学原理——分形几何。

英国海岸线有多长?

1967年,美国数学家曼德尔布罗在权威的美国杂志《科学》上发表了一篇论文,题目是“英国的海岸线有多长?”许多年前,人们发现了一个奇怪的现象:不同国家的测量机构对英国海岸线的测量有非常不同的价值。有些人认为这是由测量过程中不同尺寸的“标尺”造成的。曼德勃罗重新审视了这个问题,得出了一个惊人的结论:英国海岸线的长度可以是无限的。

你为什么这么说?我们知道英国海岸线非常崎岖。如果我们用卫星来测量它,就相当于用一把非常大的尺子。这样,海岸线上许多崎岖不平的细节将被忽略,测量结果将相对较小。然而,如果我们让一个人沿着海岸线走一次,他就会穿过海滩上的岩石和海滩,穿过海滩上的森林。他会发现许多卫星上看不到的细节,测量结果会变得更大。如果我们允许一只蚂蚁爬过英国海岸线,因为蚂蚁的身体较小,它会发现更多人们无法观察到的细节,比如海滩上的一块小石头、一个罐子,甚至一粒沙子,从而导致更大的测量结果。

不同的标尺有不同的测量结果。

因此,如果我们让统治者无限期收缩,英国海岸线的长度将变得无限。1975年,曼德尔布罗提出分形这个词来描述这个神奇的问题。

二.科赫雪花

事实上,曼德勃罗不是第一位研究分形几何的数学家。数学家康托比他早100年,已经研究过类似的“康托集”。在过去的100年里,数学家们提出了各种分形几何图形,其中最著名的是数学家科赫提出的“科赫雪花”。

1904年,瑞典数学家科赫(Koch)提出了一个图形:将正三角形的每一边分成三部分,然后用每一边的中间部分作为边向外制作正三角形。这个过程叫做迭代。

一次迭代

一次迭代后,正三角形变成12条边。我们将每条边分成三部分,并向外形成一个较小的正三角形,这称为第二次迭代。然后重复这个过程,直到无限次重复,科赫雪花形成。

2次和3次迭代

科赫雪花的周长有多大?让第一个三角形的长度为1。一次迭代后,每条边的长度变成原来的4/3,所以周长变成原来的4/3。n次迭代后,周长变为

当迭代次数是无限的,n是无限的时,科赫雪花的周长变得无限——这是因为它的边缘非常粗糙。相比之下,尽管地球看起来比雪花大得多,但它的直径是有限的——大约12800公里。雪花的周长大于地球的直径。

地球直径

科赫雪花的周长是无限的,但面积是有限的——这是显而易见的,因为雪花可以被一个圆圈覆盖,所以雪花的面积比圆圈的面积小。

科赫雪花区有限

具体来说,原始正三角形有三条边,在迭代过程中每条边将变成四条边,因此n-1次迭代后的边总数为

在第N次迭代中,雪花的每一边都会向外凸出,形成一个新的小三角形。让原始三角形的面积为1,每次迭代中构造的小三角形的边长为原始三角形的1/3,面积为原始三角形的1/9。因此,在第n次迭代中,生成的每个小三角形的面积为:

因此,所有小三角形在第n次迭代中增加的总面积为:

因此,在无限次迭代之后,雪花的总面积可以通过如下几何级数求和来获得

总面积增加了60%。

三.谢尔宾斯基地毯

除了科赫雪花,还有一种众所周知的分形结构——谢尔宾斯基地毯。这是波兰数学家谢尔宾斯基在1916年提出的。

谢尔宾斯基地毯是通过将一个正方形分成9个小正方形并去掉中间的正方形来建造的,这被称为迭代。然后对剩下的8个小方块做同样的事情,直到没有限制。

谢尔宾斯基地毯的建造

这个数字看起来是无限空心的,我们可以很容易地计算出它的面积:每次迭代,去掉的黑色部分占白色部分面积的1/9,所以剩下的8/9是白色部分。让初始白色正方形区域为1,n次迭代后剩余的白色区域为

我们发现,只要迭代次数是无限的,这块地毯的面积就接近于零,这与科赫雪花周长趋于无穷大是一样的。

四.自相似性

分形结构的最大特征是自相似性:当我们取出图形的一部分时,它与整个形状完全相同,只是大小不同。例如,我们取出了谢尔宾斯基地毯右上角的小方块,它与整体相似。从它们中取出较小的方块仍然与整体相似。

谢尔宾斯基地毯的自相似性

同样,我们可以不断放大和再放大科赫雪花。不管雪花有多小,它仍然保持着和以前一样坚固的结构。

科赫雪花自相似性

V.分形图案的维数

我们知道直线是一维的,平面是二维的,空间是三维的,这叫做拓扑维。然而,要表达分形图案的维数,我们需要使用另一个概念——豪斯多夫维数(Hausdorf dimension),这是德国数学家豪斯多夫在1918年提出的,描述了自相似图案的特征。

豪斯多夫维数的定义是:如果一个图可以按照1: m的比例划分,最后n个部分被划分,那么豪斯多夫维数就是

例如,如果线段按1: 2的比例划分,它可以分为两部分。那么线段的豪斯多夫维数是log2 _ 2 = 1;如果一个正方形按照1: 2的比例被划分,它可以被划分为4个部分,那么正方形的豪斯多夫维数是log2 _ 4 = 2一个立方体可以按照1: 2的比例分成8部分。立方体的豪斯多夫维数是log2_8=3。

分割图

根据这个规则,我们可以计算科赫雪花和谢尔宾斯基地毯的尺寸。科赫雪花在每次迭代中具有1∶3的相似比,并被分成4部分,因此豪斯多夫维数为log 3 _ 4 = 1.26每一小块舍尔宾斯基地毯与整个地毯的相似度比为1∶3,每块地毯可分为8小块,因此豪斯多夫维数为log3_8=1.89。

真奇怪,分形曲线的维数不是整数。

科学家还发现,在现实生活中,像行星一样小的叶子表面是凹凸不平的。曾经,我们研究的几何图形是基于光滑的曲线和平面。研究分形结构有助于我们更好地了解现实世界。

花椰菜的分形结构

艺术家们还建造了许多分形结构,给我们一种深刻的美。

分形艺术

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